Введение в схемы, автоматы и алгоритмы



Деревья


Деревья являются одним из интереснейших классов графов, используемых для представления различного рода иерахических структур.

Определение 1.10. Граф

называется деревом, если
  1. в нем есть одна вершина
    , в которую не входят ребра; она называется корнем дерева;
  2. в каждую из остальных вершин входит ровно по одному ребру;
  3. все вершины достижимы из корня.

На рисунке 2 показан пример дерева

С ориентированными деревьями связана богатая терминология, пришедшая из двух источников: ботаники и области семейных отношений.

Корень - это единственная вершина, в которую не входят ребра, листья - это вершины, из которых не выходят ребра. Путь из корня в лист называется ветвью дерева. Высота дерева - это максимальная из длин его ветвей. Глубина вершины - это длина пути из корня в эту вершину. Для вершины

, подграф дерева
, включающий все достижимые из
вершины и соединяющие их ребра из
, образует поддерево
дерева
с корнем
. Высота вершины
- это высота дерева
. Граф, являющийся объединением нескольких непересекающихся деревьев, называется лесом.


Рис. 1.2.  Дерево G1

Если из вершины

ведет ребро в вершину
, то
называется отцом
, а
- сыном
(в последнее время в ангоязычной литературе употребляется асексульная пара терминов: родитель - ребенок). Из определения дерева непосредственно следует, что у каждой вершины кроме корня имеется единственный отец. Если из вершины
ведет путь в вершину
, то
называется предком
, а
- потомком
. Вершины, у которых общий отец, называются братьями

или сестрами.

Пример 1.4. В дереве на рис. 1.2

вершина

является корнем, вершины
- листья. Путь
- одна из ветвей дерева
. Вершина
является отцом (родителем) вершин
и
а каждая из этих вершин - ее сыном (ребенком). Между собой вершины
и
являются братьями (сестрами). Глубина
равна 1, а высота - 2. Высота всего дерева
равна 3.

Для деревьев часто удобно использовать следующее индуктивное определение.

Определение 1.11. Определим по индукции класс графов

, называемых деревьями. Одновременно для каждого из них определим выделенную вершину - корень.
  1. Граф
    , с единственной вершиной
    и пустым множеством ребер
    является деревом (входит в
    ).
    Вершина
    называется корнем этого дерева.
  2. Пусть графы
    с корнями
    принадлежат
    , а
    - новая вершина, т.е.
    . Тогда классу
    принадлежит также следующий граф
    , где
    ,
    . Корнем этого дерева является вершина
    .
  3. Других графов в классе
    нет.


Рисунок 1.3 иллюстрирует это определение.


Рис. 1.3.  Индуктивное определение ориентированных деревьев

Определения ориентированных деревьев 1.10 и 1.11 эквивалентны.

Выделим еще один класс графов, обобщающий деревья, ациклические графы. Два вида таких размеченных графов будут использованы далее для представления булевых функций. У этих графов может быть несколько корней - вершин, в которые не входят ребра, и в каждую вершину может входить несколько ребер, а не одно, как у деревьев.

Дерево называется бинарным или двоичным , если у каждой его внутренней вершины имеется не более двух сыновей, причем ребра, ведущие к ним помечены двумя разными метками (обычно используются метки из пар: "левый" - "правый", 0 - 1,
- и т.п.)

Бинарное дерево называется полным, если у каждой его внутренней вершины имеется два сына и все его ветви имеют одинаковую длину.


Содержание  Назад  Вперед





Forekc.ru
Рефераты, дипломы, курсовые, выпускные и квалификационные работы, диссертации, учебники, учебные пособия, лекции, методические пособия и рекомендации, программы и курсы обучения, публикации из профильных изданий