Введение в схемы, автоматы и алгоритмы



Схемы и линейные программы


Указанное выше свойство характерно и для программ, в которых один раз вычисленное значение выражения можно использовать неоднократно. Рассмотрим один из простейших классов программ - линейные или неветвящиеся программы. Такие программы представляют последовательности присваиваний вида:

где X, X1, … , Xk - переменные, F - имя k-местной базисной функции.

В случае нашего базиса B0={

,
, ¬} линейная программа состоит из присваиваний вида: Z = X
Y, Z = X
Y и Z = ¬ X.

Линейная программа P с выделенными входными переменными X1, … , Xn

порождает для каждого набора ?1, …, ?n значений входных переменных естественный процесс вычисления: вначале переменным X1, … , Xn присваиваются значения ?1, …, ?n, соответственно, а каждой из остальных переменных присваивается значение 0. Затем последовательно выполняются присваивания программы P, в результате чего каждая из переменных Z программы получит заключительное значение PZ(?1, …, ?n).

Определение 2.6.

Скажем, что программа P со входными переменными X1, … , Xn

вычисляет в выходной переменной Z функцию F(X1, …, Xn), если для любого набора значений входов ?1, …, ?n после завершения работы PZ(?1, …, ?n)=F(?1, …, ?n) .

Между схемами и линейными программами имеется тесная связь.

Теорема 2.1.

  1. По каждой логической схеме S со входами x1, … , xn и функциональными элементами v1, …, vm можно эффективно построить линейную программу PS со входными переменными x1, … , xn и рабочими переменными v1, …, vm, которая в любой переменной vi, i=1,…,m, вычисляет функцию
    .
  2. По каждой линейной программе P со входными переменными X1, … , Xn, вычисляющей в выходной переменной Z некоторую функцию F(X1, …, Xn) можно эффективно построить логическую схему SP со входами X1, … , Xn, в которой имеется вершина v такая, что fv((X1, …, Xn) = F(X1, …, Xn).

Доказательство. (1) Пусть S - схема со входами x1, … , xn и функциональными элементами v1, …, vm. Построим по ней линейную программу PS со входными переменными x1, … , xn следующим образом. Упорядочим все входные и функциональные вершины S по глубине (вершины одной глубины в любом порядке): u1, …, un+m.
Программа PS будет последовательностью m присваиваний.

  • Пусть вершина un+i помечена ¬ и в нее входит
  • ребро из uj. Тогда в качестве i-ой команды поместим в PS присваивание un+i= ¬ uj.
  • Пусть вершина un+i помечена \circ
    {
    ,
    } и в нее входят ребра из uj и uk. Тогда в качестве i-ой команды поместим в PS присваивание un+i= uj ? uk.


Упорядочение вершин по глубине гарантирует, что j <n+ i и k <n+ i. Поэтому при вычислении u_{n+i} значения аргументов уже получены и индукцией по глубине легко показать, что для каждого i=1,…,m программа PS вычисляет в переменной vi функцию
.

Доказательство пункта (2) проведите самостоятельно (см. задачу 2.1).

Пример 2.1.

Применим конструкцию теоремы к схеме S1, представленной на рис.2.1. Ее вершины можно упорядочить по глубине так: x, y, z, a, b, c, d, e, f. Порождая команды по описанным выше правилам, получим следующую линейную программу P_{S1}:



Замечание. Число команд в линейной программе PS, т.е. время ее выполнения, совпадает со сложностью L(S) схемы S. Глубина схемы D(S) также имеет смысл с точки зрения времени вычисления. Именно, D(S) - это время выполнения PS на многопроцессорной системе. Действительно, все команды, соответствующие вершинам одинаковой глубины, можно выполнять параллельно на разных процессорах, так как результаты любой из них не используются в качестве аргументов другой.


Содержание  Назад  Вперед





Forekc.ru
Рефераты, дипломы, курсовые, выпускные и квалификационные работы, диссертации, учебники, учебные пособия, лекции, методические пособия и рекомендации, программы и курсы обучения, публикации из профильных изданий